Noções de Conjuntos e sua Representação

Definição de conjunto

Entende-se por conjunto a qualquer colecção ou classe de objecto. Em matemática, porém, o conceito de conjunto é bem mais amplo, podemos ter um conjunto com um só elemento, com infinitos elementos e até sem elemento algum. A Teoria dos Conjuntos foi criada e desenvolvida pelo Matemático russo George Cantor (1845-1918), trata-se do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre conjuntos e relações entre os elementos e o próprio conjunto.

A motivação para o estudo das operações entre conjuntos vem da facilidade que elas trazem para a resolução de problemas numéricos do cotidiano. Utilizaremos algumas ferramentas gráficas, como o diagrama de Venn-Euler, para definir as principais operações entre dois ou mais conjuntos, sendo elas: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de conjuntos e conjunto complementar.

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os seus elementos por letras minúsculas.

 

Representação de um conjunto

Um conjunto pode ser representado em:

   a ) Em extensão: citando os seus elementos.

A = {1, 2, 3, 4, 5,6}

B = {Angola, Zâmbia, Namíbia}

   b) Em compreensão: citando a propriedade dos elementos.

A = {Números naturais menores à sete}

B = {Três países africanos}

 c) Em diagrama de Venn: Conjuntos podem ser representados graficamente por diagramas de Euler-Venn, que são regiões planas delimitadas por curvas fechadas.

RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Dado um conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5,6}, o número 2 por exemplo faz parte do conjunto N ou é um elemento do conjunto N, então diz-se que “2 pertence a N” e simbolicamente escreve-se 2∈N. O número 7 por exemplo não faz parte do conjunto N ou não é elemento do conjunto N, então diz-se que “7 não pertence a N”, então simbolicamente escreve-se 7∉ N.

É importante observar que a relação de pertinência expressa pelo símbolo ∈ envolve um elemento e um conjunto apenas, nunca dois elementos ou dois conjuntos, a não ser que se trate de um conjunto que actue como elemento.

Exemplo:

Dado o conjunto A = {1, 2, 3}, então 1 ∈ A, 2 ∈ A e 3 ∈ A. Também podemos dizer que 4 ∉ A, já que 4 não é elemento de A. Determine a falsidade ou veracidade das afirmativas abaixo:

a) 2 ∈ {a, b, c}

b) 3 ∈ {1, –2, 3, –4}

c) 4 ∈ {2, 3, 4}

d) {4} ∈ {2, 3, 4}

e) {4} ∈ {2,3,{4}}

Resolução:

a) é falsa, pois 2 não é elemento do conjunto {a, b, c}

b) é verdadeira, pois 3 é elemento do conjunto {1, –2, 3, –4}

c) é verdadeira, pois 4 é elemento do conjunto {2, 3, 4}

d) é falsa, pois o conjunto unitário {4} não é elemento do conjunto {2,3,4}, que tem como elemento apenas o número 4.

e) é verdadeira, pois o conjunto unitário {4} é elemento do conjunto {2,3,{4}.

 

CONJUNTOS PARTICULARES

Conjunto finito: possui os elementos determinados.

A = {1, 2, 3, 4, 5,6}

B = {Províncias de Angola}

Conjunto infinito: possui elementos indeterminados.

A = {1, 2, 3, 4, 5,6…}

B = {O Universo}

Conjunto singular: possui apenas um elemento.

A = {2}

B = {Angola}

Conjunto vazio: Não possui nenhum elemento.

A = ∅

B = { }

Conjuntos idênticos: Podemos dizer que dois ou mais conjuntos são iguais se os elementos de um forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos uma igualdade pelo sinal igual (=), dizemos que A = B (A igual a B).

A = {1, 2, 3, 4, 5,6}

B = {1,2,3,4,5,6}

Conjuntos diferentes: Quando comparamos A e B e eles não são iguais dizemos que são diferentes representados assim A ≠ B.

A = {1, 2, 3, 4, 5,6}

B = {7,8,9,10,11,12}

Conjunto Universal:  é a junção de todos os elementos que estão sendo trabalhados em uma situação e é representado pela letra U.

A= {2, 4, 6, 8, 9}

B= {1, 3, 5, 7, 10}

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

 

SUBCONJUNTO DE UM CONJUNTO

A noção de subconjunto está ligada à relação de inclusão, dizemos que “A é subconjunto de B” se, e somente se, todos os elementos de A forem elementos de B, ou seja, se A⸦ B, então A é subconjunto de B.

Exemplo:

Considere os conjuntos A = {1,2, 3,4,5} e B ={1,2,3,4,5,6,7,8}.

Observe que todos os elementos de A são elementos de B, portanto, A é subconjunto de B, isto é: A ⸦ B.

O contrário já não é verdade, pois nem todo elemento de B é elemento de A, portanto, B não é subconjunto de A.

 

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Intersecção: Dados os conjuntos A e B, chama-se intersecção dos dois conjuntos, escreve-se (A ∩ B) e lê-se “ A intersecção B” ao conjunto formado por elementos  que pertecem a A e pertecem a B.

Exemplo:

Considere os conjuntos A = {1,2,3, 4,5} e B ={2, 3, 4,6,7}.   

Para determinar a intersecção entre os dois conjuntos, devemos encontrar os elementos que pertencem a eles.

A ∩ B = {2, 3,4}

Reunião: Dado os conjuntos A e B, chama-se reunião dos dois conjuntos, escreve-se A U B E Lê-se “ A reunião de B” ou “A união de B” ao conjunto formado pro elementos que pertencem a pelo menos num dos conjuntos (elementos que pertecemno conjunto A ou no conjunto B).

Exemplo:

Considere os conjuntos A = {1,2,3, 4,5} e B ={2, 3, 4,6,7}.   

Para determinar o conjunto união, basta escrever o conjunto formado por elementos que estão em ambos conjuntos, assim:

A U B = {1,2,3,4,5,6,7}

Complementar de um conjunto: Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto. Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {6,8}

B  A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.

Diferença de conjunto: Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é representada por outro conjunto, chamado de conjunto diferença.

Então os elementos de A – B serão os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.
Portanto A – B = {0, 1, 2, 3, 4}.

 

Por: Abreu Panzo